ALJABAR

ALJABAR PROPOSISI

Ilmu logika informatika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan hubungan yang ada di antara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar. Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika. Yang berdasarkan atas hipotesa-hipotesa.

KALIMAT DEKLARATIF (PROPOSISI)

Oleh karena itu, aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak bergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah pada bentuk kalimat (sintak) daripada arti kalimat itu sendiri (semantik).

Dilihat dari bentuk struktur kalimatnya, suatu pernyataan akan memiliki bentuk susunan minimal terdiri dari subjek diikuti predikat, lalu diikuti objeknya.

Contoh 1 :

● Dewi belajar

● Yoga adalah seorang mahasiswa yang pandai pada mata kuliah Logika Informatika.

Keterangan:

Kalimat pertama contoh di atas hanya memiliki subjek dan predikat, sedangkan kalimat kedua memiliki, subjek, predikat, objek dan keterangan.

Dalam proposisi, hal ini bukan merupakan masalah, karena setiap kalimat atau pernyataan tetap dapat dianggap satu buah proposisi.

Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah (tapi tidak keduanya) disebut Proposisi, sehingga logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis (logical derivation) dari proposisi-proposisi disebut Logika Proposisional ( Propositional Logic atau Propositional Calculus).

Contoh 2 :

Berikut ini adalah contoh kalimat proposisi

a. 3 + 3 = 6

b. 8 adalah bilangan ganjil

c. Jakarta adalah ibu kota negara Indonesia

d. 7 adalah bilangan prima

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar atau salahnya. Kalimat (a), (c) dan (d) bernilai benar sedangkan (b) bernilai salah.

Contoh 2.

Berikut ini adalah contoh kalimat yang bukan merupakan kalimat deklaratif (proposisi) :

a. Di manakah letak pulau Buru?

b. Siapakah namamu?

c. Ali lebih tinggi dari Karma

d. x + y = 4

e. 2/3 mencintai 3

f. Kerjakan soal ini !

g. Tutuplaj pintu itu !

Kalimat (a) dan (b) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. 

Kalimat (c) juga bukan proposisi karena ada banyak orang di dunia ini yang bernama Ali dan Karma.

Kalimat tersebut tidak menunjuk kepada Ali dan Karma secara spesifik sehingga tidak diketahui apakah benar bahwa Ali lebih tinggi dari Karma. Kalimat ini tergantung dari konteksnya (semesta pembicaraan).

Kalau konteksnya adalah mahasiswa-mahasiswa yang mengambil kuliah logika informatika di Universitas X dan di antara mahasiswa-mahasiswa tersebut hanya ada satu orang yang bernama Ali dan satu oang yang bernama Karma, maka kalimat (c) merupakan suatu proposisi.

Dalam kalimat (d), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x = 2 dan y = 2, maka kalimat tersebut menjadi kalimat benar. Tetapi jika x= 2 dan y = 3, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah.

Jadi, secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah. 

Kalimat (e), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya. Sedangkan kalimat (f) dan (g) adalah suatu kalimat perintah , sehingga bukanlah proposisi.

Latihan soal :

Manakah dari kalimat-kalimat atau pernyataan-pernyataan berikut ini yang merupakan proposisi ?

Semarang adalah ibu kota Provinsi Jawa Tengah

Bandung adalah ibu kota provinsi Jawa Timur

2 + 3 = 5

5 + 7 =10

X +5 = 11

Jawablah pertanyaan ini !

A

X + Y = Y + X untuk semua pasangan bilangan real dari X dan Y

Jangan lewat pintu ini !

Jam berapakah ini ?

X + 1 = 5 jika X = 2

X + Y = Y + Z jika X = Z

Empat adalah angka prima

Empat adalah bukan angka prima

Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomik (atomic proposition). Proposisi atomik adalah proposisi yang tidak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.

Kadang-kadang suatu proposisi atomik dapat dijumpai hanya terdiri dari satu kata.

Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimani[pulasi sedemikian rupa dengan berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit.

Penggabungan tersebut dilakukan deng-an perangkai-perangkai (connectives) sehingga disebut proposisi majemuk ( compound propositions ).

Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut ini yang berupa proposisi atomik dan yang berupa proposisi majemuk ?

Setiap orang Indonesia kaya raya

Budi kaya raya, demikian juga Dewi

Badu dan Dewi sama-sama kaya raya

Dino kaya raya atau banyak hartanya

Lihat contoh berikut :

● Belajarlah !

Jadi, kata tersebut dapat diubah menjadi kalimat yang lengkap tanpa mengubah artinya sehingga dapat menjadi :

● Anda harus belajar dengan rajin.

Dalam contoh berikut, dijumpai dua buah proposisi: ● Belajarlah atau anda gagal! Jadi, kalimat lengkapnya adalah : ● Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal ujian Ket. Proposisi yg pertama ”Anda harus belajar dengan rajin” dan proposisi kedua ”Anda akan gagal”, keduanya dirangkai dengan perangkai ”atau” ALJABAR PROPOSISI

Ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi, yakni proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar.

Tautologi menghasilkan implikasi-implikasi secara logis ( logical implications) dan ekuivalen-ekuivalen secara logis ( logical equivalences.

Implikasi logis merupakan dasar dari penalaran yang kuat (sound reasoning) sedangkan ekuivalensi logis menunjukkan bagaimana proposisi-proposisi dapat dimanipulasi secara aljabar atau secara matematikan sehingga disebut logika matematika.

Seringkali, beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih panjang.

Dalam logika informatika dikenal 5 buah penggandeng kalimat, yakni :

ALJABAR PROPOSISI Kata-kata penggandeng kalimat (Logical connectives) SIMBOL ARTI BENTUK ¬ ¯ tidak/not/negasi Tdak ... Λ dan/and/konjungsi ...dan ... V atau/or/disjungsi ... atau ... => implikasi Jika.... maka....  bi-implikasi .....jika dan hanya jika ....

Untuk memanipulasi logika, para ahli mengembangkan suatu pola untuk argumen yang bernilai benar atau salah, yakni menggantikannya dengan huruf-huruf tertentu. Misalnya A, B, C, P, Q, R dan S.

Setiap huruf akan menggantikan satu proposisi yang mempunyau arti sama dan yang berada di setiap pernyataan di dalam argumen tersebut,t termasuk pada semua premis dan kesimpulan baik berbentuk majemuk maupun tunggal.

Contoh :

A : ”6 adalah bilangan genap”

B : ”7 adalah bilangan ganjil”

Maka kalimat :

” 6 adalah bilangan genap” dan 7 adalah bilangan ganjil”

dapat dinyatakan dengan simbol A Λ B .

Berikut contoh penggantian proposisi dengan huruf :

A : Anda belajar rajin

B : Anda lulus ujian

C : Anda senang

selanjutnya, bentuk argumen tersebut menjadi :

Jika A, maka B

Jika B, maka C

Jika A, maka C

Bentuk argumen di atas dinamakan Silogisme Hipotetis (Hypotetical Sylogism)

Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.

Bukti Keabsahan Argumen

Dapat melalui:

1. Tabel Kebenaran 

2. Aturan Penyimpulan 

Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Aturan Penyimpulan

1.  Modus Ponens (MP)

     p à q

     p  / \ q

2.  Modus Tolens (MT)

    p à q

    ~q / \~p

3.  Hypothetical Syllogisme (HS)

    p à q

    q à r / \p à r

4.  Disjunctive Syllogisme (DS)

       p v q

    ~ p / \ q

5.  Constructive Dillema (CD)

     ( p à q ) Ù ( r à s )

       p v r / \q v s

6.  Destructive Dillema (DD)

    ( p à q ) Ù ( r à s )

     ~ q v ~ s /  \~p v ~r

7. Conjunction (Conj)

    p

    q / \p Ù q

8.  Simplification (Simpl)

     p Ù q

     \p

9.  Addition ( Add)

    p

    \p v q

ARGUMEN

Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. 

 Contoh:

1.  p à q

2.  p / \ q

Jawab :

1.  ( p à q ) Ù ( r à s )

2.  ~ q v ~ s / \~ p v ~ r

 BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

           Bukti keabsahan argumen dapat melalui:

1. Tabel Kebenaran

2.  Aturan Penyimpulan

       Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Buktikan keabsahan argumen

1.  1. p à q

2.  ~ q / \~p

2.  1. a à b

 2. c à d

3.  ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c

Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

p	q	~p	~q	p àq	q   [( p àq) Ù ~q]	[(p àq) Ù ~q] à ~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B